Las diferencias entre el envío de un email desde una cuenta de correo de nuestro propio dominio o usar el servicio de mail de Google son mínimas pero importantísimas. Solo hay que tener en cuenta:

1º Usar como servidor «smtp.google.com»

2º Cambiar el típico puerto 25 por el valor 587

3º indicar que se use SSL en el envío

Quedando un código como el siguiente:

public static void mandar_mail()
{
//siempre el from y el smtp (deben ser del mismo dominio)
System.Net.Mail.MailMessage correo = new System.Net.Mail.MailMessage();

correo.From = new System.Net.Mail.MailAddress("correo@gmail.com");

correo.To.Add("correo@gmail.com");
correo.Subject = txtAsunto.Text;
correo.Body = txtTexto.Text;
correo.IsBodyHtml = false;
correo.Priority = System.Net.Mail.MailPriority.Normal;

System.Net.Mail.SmtpClient smtp = new System.Net.Mail.SmtpClient();
smtp.Credentials = new System.Net.NetworkCredential("correo@gmail.com", "contraseña");

smtp.Host = "smtp.gmail.com";
smtp.Port = 587;
smtp.EnableSsl = true;

try
{
smtp.Send(correo);

}
catch (Exception except)
{

}
correo.Dispose();

}